振り子を大きくふらせると、「本当の動き」と「かんたんな式で計算した動き」は 少しずつズレていきます。スライダーを動かして、そのズレを目で確かめてみよう。
②の「かんたん近似」は、sinθ を θ そのもので置きかえた式です。 θ が小さいうちは sinθ ≈ θ とみなせますが、角度が大きくなると この置きかえの誤差がだんだん無視できなくなります。ブランコを少しだけ揺らすときと、 思いきり大きく漕ぐときとで、1往復にかかる時間の感覚が変わってくるのと同じイメージです。
目安として、初期角度 θ₀ = 10° では誤差は約0.5%とほぼ無視できますが、 30° では約4.6%、90° では約41%まで広がります。 「動きの軌跡」グラフでは、②が常にきれいなだ円を描くのに対し、 ①は角度が大きいほどだ円からつぶれた形へと歪んでいく様子が見えるはずです。
誤差の見積もりはテイラー展開 θ − sinθ ≈ θ³/6 から来ていて、相対誤差はおよそ θ₀²/6 になります。 画面上の「①の1往復の時間」は、単振り子の厳密解に現れる完全楕円積分 T = 4√(l/g)·K(sin(θ₀/2)) を数値計算（算術幾何平均法）で求めたものです。