FPU-β格子局在振動（ディスクリートブリーザー）シミュレータ

非線形バネでつながれた粒子の鎖（FPU-β格子）で、エネルギーが少数の粒子だけに閉じ込められたまま振動し続ける「局在振動（ディスクリートブリーザー）」を励起します。線形な格子では起こらない、非線形性ならではの現象です。

Odd型（サイト中心） 1つの粒子を中心に左右対称。隣どうしが逆位相で振動する。 a₀=0.376, a±1=−0.197, a±2=0.009

Even型（ボンド中心）隣り合う2粒子の間（バネ）を中心に反対称。 a₀=0.323, a−1=−0.323, a1=−0.054, a−2=0.054

▶ やってみよう

まずはそのまま再生してみよう。中央付近の粒子だけがずっと振動し続け、まわりは静かなままになるはず。これが局在振動（ブリーザー）。
「励起振幅 A」を下げてみよう（0.8くらいまで）。振動が格子全体に広がって消えていくのがわかるよ。ブリーザーができるにはある程度以上の振幅が必要という性質を体感できる。
Odd型とEven型を切り替えて、振動の中心が「1つの粒子」か「隣り合う2粒子の間」かを見比べよう。
非線形パラメータ β を大きく／小さくして、非線形性の強さがブリーザーの安定性にどう関わるか試してみよう。
下の「サイト×時間」グラフでは、ブリーザーが1本の明るい縦すじとして残り続ける様子が見える。

パラメータ

格子サイズ N（周期境界）48

非線形パラメータ β1.00

励起振幅 A1.80

小さくしすぎるとブリーザーが崩れて広がる（下の「やってみよう」参照）

ブリーザーの型

経過時間 t0.00

全エネルギー E0.0000

エネルギー変化率0.000%

局在度（中心±6サイトの保有エネルギー比）100.0%

サイト × 時間（エネルギー密度）

下が最新。明るいほどエネルギー密度が高い。1本の縦すじ＝局在したまま残るブリーザー

site 0site N−1

FPU-β格子と局在振動（ディスクリートブリーザー）について

質量1・線形バネ定数1の粒子を周期境界条件でN個つなぎ、バネにさらに4次の非線形項（係数β）を加えたのが FPU-β格子です。粒子iの変位を q_i とすると、運動方程式は次の通りです。

q̈_i = (q_i+1−q_i) + β(q_i+1−q_i)³ − (q_i−q_i−1) − β(q_i−q_i−1)³

通常、格子の振動（フォノン）はすぐに格子全体に広がってしまいます。ところが非線形項があると、少数の粒子だけにエネルギーが閉じ込められたまま長時間振動し続ける「ディスクリートブリーザー（局在振動）」という特別な解が存在できます。ブリーザーには、1つの粒子を中心に対称なodd型と、隣り合う2粒子の間（バネ）を中心に反対称なeven型の2種類があり、どちらも隣接粒子どうしが逆位相で振動します。

初期変位に使っている近似プロファイル（k=4, 出典下記 Table 1）
型	i−2	i−1	i	i+1
Odd（i中心）	0.00867	−0.1968	0.3762	−0.1968 (i+2: 0.00867)
Even（i-1/i境界中心）	0.05355	−0.32301	0.32301	−0.05355

このシミュレータでは、この空間分布を「励起振幅 A」で拡大した q_i(0) = A·a_i を初期変位、速度はすべて0（v_i(0)=0）として初期条件を与え、実際のFPU-β方程式（上式）でそのまま時間発展させています。これはブリーザーの正確な解ではなく、あくまで「近似的な種」です。振幅が十分大きければ非線形効果が勝ってブリーザーとしてまとまり続け、小さすぎると通常の波（フォノン）として格子全体に散っていきます（「やってみよう」参照）。

数値計算の方法・エネルギーの検算について

時間発展にはシンプレクティック（速度ベルレ）法を使っています。RK4のような一般の数値積分法と違い、ハミルトン系のエネルギーを長時間にわたって系統的な誤差なく保存できるため、ブリーザーが数値誤差で人工的に崩れたり成長したりするのを防げます。画面の「エネルギー変化率」は摩擦のないこの系全体の力学的エネルギーがどれだけ保存されているかを示す検算用の数値で、0%に近いほど数値計算が正しく動いている目安になります。「局在度」は、初期励起の中心サイトを基準に、その前後6サイト（計13サイト）が保有するエネルギーが全エネルギーに占める割合です。

出典: K. Yoshimura and Y. Doi, "Existence and stability of discrete breathers in Fermi–Pasta–Ulam lattices," Journal of Differential Equations 298 (2021) 560–608, Table 1 (k=4: pure-quartic homogeneous potential X⁴/4 の場合の近似プロファイル)。